数学する精神：正しさの創造、美しさの発見（中公新書）

『数学する精神』
加藤文元（数学、数理解析）
中公新書（2007）

数学とは何か、その本質に迫る。

仏師は木の中に宿る仏様を外に出すためにノミを振るう。
仏様がもともとそこに存在するわけである。
数学者も数がもともと存在すると考え、
それを取り出すのである。

通学的概念は実在する。小平邦彦
数学において重要なのは悟性ではなく想像力である。クライン

数学者の言う美しさとは、
整合的、シンプル、普遍的、奥深さ、意外、実在感、空間的、時間的など。
これは基本的に予測可能性に関連している。
美しさを感じるとは、そこから何かを予測できるということ。

算数学の根底には時間の純粋直観がある。カント
私が思うに、時間を空間化したものが数学ではないかと思う。
時間というのは、変化であるから空間的には表現できない。
それを公式を使って表現し、
時間を空間の一つに組み込んでしまうのが数学ではないか。
極限という表現は、行為の無限反復だけど、
それが有る一つの数値に収束する。
ε-δ論法など、時間を含む変化を、
時間を含まない静的な表現にするのが数学なのだと思う。

√2とは有理数全体を「２乗が２より大きなもの全体」と「２乗が２より小さなもの全体」という二つの部分に分けること「そのもの」が√2という数である。デデキント

このデデキントの言葉が面白いのは、
数＝分けることと言っていること。
数の本質は変化や行為にあり、
対象そのものとしては存在しない。

数や数学とは何かを考えるのに興味深い一冊。

☆☆☆☆☆
難易度4/5 推薦度5/5

タグ：加藤文元

数学（一冊でわかる）

『数学（一冊でわかる）』
ティモシー・ガウアーズ（数学者、フィールズ賞受賞）
岩波書店（2004）

原題：A Very Short Introduction: Mathematics

ヒルベルト空間、完備な内積空間

階層状になった概念体系を下のほうから全部学んでいかないかぎり、ヒルベト空間を理解できる見込みはない
In short, to have any hope of understanding what a Hilbert space is, you must learn and digest a whole hierarchy of lower-level concepts first.

数学的対象は、それが何を為すかによって規定される。
a mathematical objects is what it does.

1,999999…が2に等しいのは単なる取り決め

高次元の数学、８次元空間から８つの数字の組で点を表す
６次元立方体の頂点は64個

幾何学を座標を利用することで代数学に変換する
線分とは最短の経路

宇宙は負の曲率をもつ。
同じ向きに延びる直線は互いに遠ざかる

あえて疑わしいところを省略せずに記して、
私の疑問を説明してくれる人がでてくるのを期待する。
九章算術注、劉徴

☆☆☆☆☆
難易度3/5 推薦度3/5

p44の証明の3.がなぜ2.から導けるのかわからないな……

p71の2-1.999999…がゼロに等しいとすると
x-y=0ならばx=yというルールを捨てることになる
これって、"ゼロでないとしたら"ではないの？

劉徴、格好いいじゃねえか。原文見つからないのが残念。

・今日の一言（本文より）
The reality of a mathematical concept has more to do with what it does than with what it is.
数学概念のリアリティは、それが「何であるか」よりも「何を為すか」に関係している。
수학 개념의 리얼리티는 그것이 "무엇인가"보다 "무엇을 할까"와 관련이 있다.
数学的概念实际上是比起"那是什么"，思考"那能做什么"更重要。

タグ：ティモシー・ガウアーズ

人物で語る数学入門（岩波新書）

『人物で語る数学入門』
高瀬正仁（多変数関数論、近代数学史）
岩波新書（2015）

古代ギリシアの三大作図問題。

円が与えられたとき、
その円と同じ面積をもつ正方形を作る。

任意の角が指定されたとき、
それを三等分する。

立方体が与えられたとき、
その二倍の体積をもつ立方体を作る。

☆☆☆☆☆
難易度3/5 推薦度3/5

数学史と数学入門のいいとこ取りしようとして、
微妙な出来になっているように思う。

・今日の二言（本文より、フェルマー）
私は真にすばらしい証明を発見したが、それをここに書くには余白が狭すぎる。
I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin is too narrow to contain. -Pierre de Fermat
我发现了一个美妙的关于这个定理的证法，可惜这里地方太小，写不下。
나는 정말 놀라운 증명 방법을 발견했지만, 여백이 좁아서 적지 못한다.

ディオファントスは一生の六分の一を少年時代としてすごし、ひげは一生の十二分の一より後にのび、さらに七分の一がすぎた後に結婚した。結婚して五年後に息子が生れた。その息子は父の二分の一の長さの人生を生き、父は息子の死の四年後に亡くなった。
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father's life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, he ended his life.
신의 축복으로 태어난 그는 인생의 1/6을 소년으로 보냈다. 그리고 다시 인생의 1/12이 지난뒤에는 얼굴에 수염이 자라기 시작했다. 다시 1/7이 지난 뒤 그는 아름다운 여인을 맞이하여 화촉을 밝혔으며, 결혼한 지 5년만에 귀한 아들을 얻었다. 아! 그러나 그의 가엾은 아들은 아버지의 반밖에 살지 못했다. 아들을 먼저 보내고 깊은 슬픔에 빠진 그는 그 뒤 4년 간 정수론에 몰입하여 스스로를 달래다가 일생을 마쳤다.
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一两颊长胡，再过七分之一，点燃结婚的蜡烛，五年后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，边进入冰冷的墓。悲伤也只有用研究数论去弥补，又过四年他也走完了人生的旅途。

タグ：高瀬正仁

ノイマン・ゲーデル・チューリング（筑摩選書）

『ノイマン・ゲーデル・チューリング』
高橋昌一郎（論理学、哲学）
筑摩選書（2014）

フォン・ノイマンは
原水爆開発の核実験で
放射線を浴び骨髄癌で死去

数学の本質には、
その意味での非常に特殊な二面性がある
ノイマン

数学が人間の経験と切り離せないとしたノイマン、
独立しているとしたゲーデル

ノイマンの一度読んだ本や記事を一字一句だかわずに引用する能力

京都への原爆投下を主張したノイマン
それでは戦後、ローマやアテネを破壊したのと
同じ非難を世界中から浴びることになる。
陸軍長官ヘンリー・スチムソン

数学の本性についての三つの見解。
プラトン主義、心理主義、アリストテレス的概念主義

論理実証主義。
科学的世界観の先駆者として
アインシュタイン、ラッセル、ウィトゲンシュタインを掲げる

ゲーデルの妻アデル、七歳年上、
ウィーンのナイトクラブ夜の蝶の踊り子、
十年の交際を経て結婚、
的確な会話ができ、人を楽しませる才能、
料理上手、おしゃべりで教養に欠け、頑固とも

ゲーデルはディズニー映画を好んだ

ウィトゲンシュタインは機械は考えることなどできないとし、
チューリングが一つ一つにできると反論

音楽、チェス、チェッカーの世界初のプログラムを書いたチューリング
チューリングの事故死説や他殺説

私が研究所に行くのは、ゲーデルと散歩する恩恵に浴するためだ。アインシュタイン
I went to the office just to have the privilege of walking home with Kurt Gödel.

もし明日攻撃しようというなら、なぜ今日ではないのかと私は言いたい。もし今日の五時に攻撃しようというなら、なぜ一時にしないのかと私は言いたい。ノイマン
If you say why not bomb them tomorrow, I say why not today? If you say today at 5 o'clock, I say why not one o'clock?

我々は、今生きている世の中に責任を持つ必要はない。ノイマン
You don't have to be responsible for the world that you're in.

ノイマンの頭脳は常軌を逸している。もしかすると、人間より進化した生物ではないか。ハンス・ベーテ
I have sometimes wondered whether a brain like von Neumann's does not indicate a species superior to that of man.

私は、神が、物理学ばかりでなく、純粋数学においても、自然数論においてさえ、サイコロを振ることを証明した。チャイティン
I have shown that God not only plays dice in physics, but even in pure mathematics, in elementary number theory, in arithmetic!

☆☆☆☆☆
難易度3/5 推薦度4/5

三人の講演や論文の翻訳、解題、生涯と思想。
ゲーデルの周囲の人たちの話、特に
親友モルゲンシュタインの最後の日記が感動的だ。

・今日の一言（本文より、アインシュタイン）
I want to go when I want. It is tasteless to prolong life artificially. I have done my share; it is time to go. I will do it elegantly.
私は、自分が望むときに逝きたい。生命を人工的に長引かせることは、退屈だ。私の役割は、やり終えた。今が逝く時だ。私は、エレガントに逝く。
나는 내가 원할 때 가고 싶다. 인위적으로 삶을 이어나가는 건 무의미하다. 내 몫은 했다. 이제 갈 시간이다. 나는 우아하게 갈 것이다.
我想在想离开的时候离开。通过人为手段延长生命毫无乐趣。我该做的都做了，是时候走了。我会优雅地离开。

タグ：高橋昌一郎

無限：その哲学と数学（講談社学術文庫）

『無限：その哲学と数学』
A.W・ムーア（哲学）
講談社学術文庫（2012）

原題：The Infinite

カントの人間観。
人間とは無限の世界に位置する根本的に有限な被造物であるが、
その人間的自由の無限姓によって尊い存在でもある。

ベルクソン。連続は基礎的なものであり、
点こそが連続から加工された数学上のフィクション
瞬間の概念は、時間の空間的な観念を前提にしたもの

カントールは無限についての数学的研究を通じて神の存在を示そうとした
数学に究極的な内容を与えるのは時間の純粋構造
語り得ぬものについても示されることは可能である
『論考』の中心的問題は形而上学的無限
語ることと示されることの区別
語り得ぬものについては、沈黙してなければならない。

真なる無限が実在すると語ることは首尾一貫しないこと
永遠に存続するものは三つ。信仰、愛、希望。パウロ
トムソンランプは物理学的には点灯することになる
アリストテレスの二つの無限。可能無限のみ認める
可能的な無限。時間の内に終わることのない過程。数学的無限
現実的な無限。無限の対象が同時存在。形而上学的無限
風景を語ることで視点が示される

本書の目的は、無限が、過去二千五百年にわたって、西欧世界の様々な思想家によって、いかに理解されてきたかを理解することを通じて、無限の理解に達しようとすることにある。
The aim of this book is to arrive at an understanding of the infinite -- via an understanding of how it has been understood by other thinkers in the west over the past two and a half millennia.

点から作りうるものは無限に繰り返される不連続の系列に過ぎない。
the most that could be built up out of points was a series of infinitely repeated discontinuities.

我々一人ひとりが、有限なもの「として」時間を与えられている。ハイデガー
each of us was given time as finite.

数学は、しばしば、無限の科学であるといわれる。
It is often said that mathematics is the science of the infinite.

点から作りうるものは無限に繰り返される不連続の系列に過ぎない。ベルクソン
the most that could be built up out of points was a series of infinitely repeated discontinuities.

無限は、時間形式の内的な性質なのである。ヴィトゲンシュタイン
Infinity is an internal quality of the form of time.

死に際しても、世界は変化せず、ただ終息するのみである。ヴィトゲンシュタイン
At death the world does not alter, but comes to an end.

☆☆☆☆☆
難易度4/5 推薦度3/5

四つの無限のパラドクス。
無限小、無限大、一と多、無限に関する思考
全ての自然数と偶数が対にできる、というが、
それなら2:1の対にもできるわけで、
それはなぜ問題にならないのかよくわからん。

無限の本質は時間ではないか？空間認識は基本的に有限である。
無限の問題は時間と空間の違いに起因するのではないか？
我々が何かを無限だと呼ぶとき、時間の点を占めたものとして想定されるため。
無限は時空間に存在するが、空間には存在しない。無限は出来事＝現象。

p249ベルクソンの議論が同意できる

・今日の一言（本文より、カントール）
A set is a many which allows itself to be thought of as a one.
集合とは、自分自身を一つのものと考えることを許すような多数のものである。
集合是可以把自己看做是一个的多数东西。
집합이란 우리의 직관 또는 사고의 대상으로서 확정되어 있고 서로 명확히 구별되는 것을 모아 하나로 본 것이다.

タグ：A.W・ムーア

ぼくと数字のふしぎな世界

『ぼくと数字のふしぎな世界』
ダニエル・タメット（作家、言語学者、教師）
講談社（2014）

原題：Thinking in Numbers; On Life, Love, Meaning, and Math 2012

ナポレオン侵攻時のモスクワの大火事、住民が逃げて警察もいない木造家屋に、軍隊が入って煙草を吸い、焚き火をし煮炊きすれば火事になるのが当然。トルストイ

Small fishes are better than empty dishes.
有るは無いに勝る。

仏陀の人生が理想化して描かれている『ラリタヴィスタラ』には、若きシッダルータと「偉大な数学者アルジュナ」との出会いが書かれている。
In the La litavistara sutra, a hagiographical account of the Buddha's life, we read of a meeting between the young Siddhartha and the "great mathematician Arjuna".

数学は美しい。数学が美しくないとしたら、美しいものなどひとつもない。ポール・エルデシュ
Paul Erdős when he said, "I know numbers are beautiful. If they are not beautiful, nothing is."

時間とは子供が夢中になって興じる遊びである。ヘラクレイトス
Time is a game played beautifully by children.

☆☆☆☆☆
難易度2/5 推薦度3/5

数についての雑学随筆集。

・今日の一言（本文より、ヨブ11-7）
Can you fathom the mystery of God?
あなたは神の深さを見抜くことができようか。
你能测度上帝的深奥吗？
네가 하나님의 오묘를 어찌 능히 측량하겠느냐?

タグ：ダニエル・タメット

人工知能は人間を超えるか（角川EPUB選書）

『人工知能は人間を超えるか』
松尾豊（人工知能、ウェブマイニング）
KADOKAWA/中経出版（2015）

人工知能にはかなり慎重に取り組む必要がある。
結果的に悪魔を呼び出していることになるからだ。
イーロン・マスク

He saw a woman in the garden with a telescope.
庭にいるのは彼か彼女か

☆☆☆☆☆
難易度2/5 推薦度3/5

人工知能やデータマイニングの歴史。

分詞構文や不定詞など英語はとても曖昧な言語だなと思う。

・今日の一言（本文より、ホーキング ）
The development of full artificial intelligence could spell the end of the human race.
完全な人工知能を開発できたら、それは人類の終焉を意味するかもしれない。
완전한 인공지능의 개발이 인류의 멸망을 불러올 수 있다.
人工智能的全盛时代可能导致人类灭亡。

タグ：松尾豊

数学の想像力：正しさの深層に何があるのか（筑摩選書）

『数学の想像力』
加藤文元（数学）
筑摩選書（2013）

死とはモーツアルトが聴けなくなることだ。
アインシュタイン

見ることが最終的な証明
証明とは直観＝見ると論理＝流れを
階層的に組み合わせてまとめあげられた一つの物語

πを求めた人々。アルキメデス、劉徽、祖沖之
劉徽はπを小数点以下五桁まで正確に算出した

村松茂清は内接32768角形の周長を丹念に計算することで、
小数点以下七桁目まで正しい結果を得ていた。

√2が有理数でないことは見るだけではわからない
証明とはもともと宗教祭儀であった
数とは一からできている多である。
背理法を用いた取り尽くし法。極限との違い

取り尽くし法の基本原理。いかなる量もその半分以上を取り除くという作業を何回か繰り返せば、与えられたいかなる量よりも小にできる。ユークリッド原論　第十巻命題１
Two unequal magnitudes being set out, if from the greater there is subtracted a magnitude greater than its half, and from that which is left a magnitude greater than its half, and if this process is repeated continually, then there will be left some magnitude less than the lesser magnitude set out.

中国最古の数学文献、算数書、紀元前180年頃
『九章算術』は15世紀まで中国数学の模範となった
微分積分学＝無限小算術
バークリーの微分積分学批判

コーシーの極限概念、イプシロン・デルタ論法は
取り尽くし論法と同じことを言っているに過ぎない

☆☆☆☆☆
難易度3/5 推薦度5/5

音楽と数学の共通点は、時間が凝縮されていることだろう。
楽譜や公式には時間的展開が描かれているのだから。

数学の極限の概念には時間が含まれている。
空間を時空間で表現したものが極限。

万物の本性は数である。
万物を存在させるのが数ではないか？

"ゼノンの逆理。時間や線分といった連続的なものは、一瞬とか点といった離散的なものからは構成されない。"
これは正しい。実数の数直線モデルがそもそもおかしい。集まるのではなく運動すること、時間を加味することで構成される。

"離散的な点から構成されないなら、何からの大きさを持った単位から成ることになり、無限に分割することは不可能になる。"
ならない。長さのない点は長さ０なのだから、０が無限に集まっても長さは０であって線分を構成することなどできない

・今日の一言（本文より）
ピタゴラス派の人々にとって数学の論証的な証明とは、神と直接触れ合うための方法であり、感覚的な手段では見出すことのできない真理を感受するための儀式であった。
피타고라스파의 사람들에게는 수학의 논리적인 증명은 하느님과 직접 통하기 위한 방법이고 감각적인 수단으로 찾아낼 수 없는 진리를 느끼기 위한 의식이였다.
对毕达哥拉斯派的人们来说，数学的论证性证明是和神直接接触的方法，也是感受不能通过感觉器官来发现真理的仪式。
For the Pythagoreans's people mathematical demonstrative proof was the method for directly contacting with God, and was the ceremony for being receptive to the truth which cannot be found out through the senses.

タグ：加藤文元

数学 想像力の科学（岩波科学ライブラリー）

『数学 想像力の科学』
瀬山士郎（トポロジー）
岩波科学ライブラリー（2014）

メビウスの帯。
三つの座標に二つのパラメータ

クライン管。
四つの座標に二つのパラメータ

円周は二つの座標に一つのパラメータ

クライン管には内側と外側の区別がない。
クライン管とは二つのメビウスの帯の縁を貼り合わせた図形

結び目は二次元空間では次元が足りず、
四次元空間では多すぎてほどけてしまう

二次元球面は四次元空間で結ぶことができる
πの名付け親はオイラー

虚数が表すものは運動、回転を伴った移動を表すための数
実数もすべて想像上の数

1と0,9999999...の違いはどうしても検出できない

☆☆☆☆☆
難易度3/5 推薦度3/5

日本語の文章で説明したものより数学記号で書いたもののほうが分かりやすい、というのだけど、これが数学者の最大の誤解と思う。両方書くのがよいに決まってる。

実数と虚数は互いに独立した単位、ということは復素数は次元が一つ多いということかな。

・今日の一言（本文より）
一辺の長さが１の四次元立方体の対角線の長さは２である。
1변의 길이가 1인 4차원입방체의 대각선의 길이는 2이다.
边长１的四次元立方体的对角线的长度是２。
The length of the diagonal line of a four dimensional cube is 2 if the length of the side is 1.

タグ：瀬山士郎

虚数がよくわかる：“ありもしない”のに,難問解決に不可欠な数（Newton別冊）

『虚数がよくわかる』
木村俊一（代数幾何）
Newton別冊（2009）

訳語の虚数は中国で作られた
虚数は数直線に対して垂直方向の矢印
iの四乗が１
虚数同士には大小はない
シュレーディンガー方程式は虚数を含む
ホーキング：宇宙のはじまりには虚数の時間が存在したが、
やがて実数の時間に置きかわった。

虚数時間のもとでは力の向きが逆転する
宇宙のはじまりに虚数時間を想定すれば、
そこでは時間と空間がまったく対等なものになり、両者の区別がなくなる。

虚数はもちろんマイナスもゼロも自然界には存在しない
商人がサファイアを520ダカットで売った。
仕入れ値は、もうけのちょうど３乗に等しかったという。もうけはいくらか？

複素数こそ、数の拡張の終着駅であり、これ以上の数の拡張は必要ない
一個の実数と３個の虚数からなる新しい数：四元数＝ハミルトン数
黄金比の美しさは幻想

☆☆☆☆☆
数学の本の問題は、
数式の計算部分を完全に書き出さないことだと思う。
数語の完全翻訳本を書く数学ライターはいないのかな？
たとえば、
メソポタミア人はどうやって求めた？
の解説は、以下ぐらいに徹底して書くべきと思う。

　古代メソポタミア人はどのようにして√2の近似値を求めたのだろうか？
　2は、「1の2乗(=1)]よりは大きいが、「2の2乗(=4)」よりは小さい。したがって、√2は「1と2の間」に存在することがわかる。もし、1と2の中間値である3/2=1.5が√2そのものであれば、(2÷3/2)の計算結果も3/2になるはずである。だが実際には2÷3/2=4/3=1.3333…となるので、√2は「4/3と3/2の間」に存在することがわかる。
　そこで、今度は4/3と3/2の中間値である17/12=1.41666…を新たな√2候補とし、これを2で割ると、2÷17/12=24/17=1.41176…となるので、√2は「24/17と17/12の間」に存在することがわかる。メソポタミア人はこうした計算をくりかえすことで、より正確な近似値を求めることができたと考えられている。

・今日の一言（本文より）
２乗してマイナスになる数さえあれば、どんな２次方程式にも答えが出せる。
제곱해서 마이너스가 되는 숫자만 있으면 어떤 2차 방정식에도 답이 나올 수 있다.
要是有二次平方后得出负数的数字，那么不论什么二次方程式都能解答。
If you have a number which turns into a negative number when it is squared, you can answer any quadratic equation.

タグ：木村俊一

数学の文化人類学

『数学の文化人類学』
Ｒ・Ｌ・ワイルダー（数学）
海鳴社（1980）

原題：Evolution of Mathematical Concepts（数学概念の進化）1968

数学は理想的には、
凡庸な精神をして複雑な問題を迅速に解かしめる一つの道具である。

数学者の多くが数学を芸術だと考えていることは驚くにあたらない。

数学の公式はその発見者より賢い
たいていの目的の場合、十二進法は十進法より優れている
数の性質は星から星へ移っても変わりはしない

言語の単数形、両数形、複数形
いちにさんしごろくななはちきゅうじゅうで
ななのみ古代日本語由来で他は中国語由来でしちひち

バビロニアのゼロの発明は紀元前400-300、
マヤは西暦紀元初頭

ゼロの発明を促進したソロバン
contactはもともと名詞で著者の若い頃は動詞として使えなかった

ピュタゴラス：友とは220と284のようにもう一人の私である者だ

幾何学geo-metry＝ギリシャ語で土地+測量
バビロニア数学に幾何学なし
幾何学はギリシャ数学より

公理：普遍的性質
交準：幾何学的仮定

数学が論理学の拡張という考えは今日あまり支持されていない
数学者ディーンズ：数学は幾何学を含まない
視覚的に考える数学者と考えない数学者

分数に整数を含めると分数＝循環小数

科学の概念が外的実在から遠ざかれば遠ざかるほど、それらは人間の環境を制御するようになる

・今日の一言（本文より）
数は天体のように、不変で永遠であった。数は理解しうるものであったし、数の科学は宇宙の鍵であった。
수는 천체같이 불변하고 영원했다. 수는 이해할 수 있는 것이고 수의 과학은 우주의 열쇠였다.
数字是像天体一样不变而永远。数字是能理解的东西，数字科学是宇宙解密的关键。
Numbers are permanent and eternal like the heavenly planets. Numbers are understandable, and the science of numbers is the key to the universe.

タグ：Ｒ・Ｌ・ワイルダー

神は数学者か？：万能な数学について

『神は数学者か？』
マリオ・リヴィオ（宇宙物理学者）
早川書房（2011）

原題：Is God a Mathematician?
数学史を知る良書。

独自理論を提唱する困った読者への対処法。
数式で説明してくれないと何とも言いようがありませんと答えるのだ。
To point out the true fact that as long as the theory is not precisely formulated in the language of mathematics, it is impossible to assess its relevance.

宇宙はまるで純粋数学者が設計したかのようだ。
The universe appears to have been designed by a pure mathematician.

数学は経験とは無関係な思考の産物なのになぜ物理的実在の対象物にこれほどうまく適合するのか？
Mathematics, a product of human thought that is independent of experience, fits so excellently the objects of physical reality?

科学の歴史はさまざまな憶測、仮説、モデルの登場と消滅の繰り返しだった。
The history of science is the story of the rise and fall of numerous speculations, hypotheses, and models.

アルキメデスの機械がローマ軍を苦しめる：
投石機、起重機、衝角、凹レンズ

その魔術師は「地球を動かしてみせよ」と言い放ったアルキメデスとは対照的に、すでに「地球は動いている」と訴えた。
Unlike Archimedes, who said he could move the Earth, this magician insisted that the Earth was already moving.

結び目理論が、分子生物学のDNA、理論物理学のひも理論に結びつく。
おそらく脳と精神の関係も関わりそう。

われわれの数学は発明と発見の組み合わせなのである
Our mathematics is a combination of inventions and discoveries.

・今日の一言（本文より）
Mathematics, a product of human thought that is independent of experience, fits so excellently the objects of physical reality?
数学は経験とは無関係な思考の産物なのになぜ物理的実在の対象物にこれほどうまく適合するのか？
수학은 경험과는 무관계인 사고의 산물인데도 왜 물리적 실재의 대상물에 이만큼 잘 적합하는 것인가?
数学是和经验无关的思考产物，那么为什么和实在的物理对象这么吻合？

タグ：マリオ・リヴィオ

はじめてのトポロジー（PHPサイエンス・ワールド新書）

『はじめてのトポロジー』
瀬山士郎（位相幾何学、数学教育）
PHPサイエンス・ワールド新書（2009）

幾何学：
形と空間についての研究

射影幾何学では長方形は多数で三角形は一つ。

０次元ベッチ数：
連結成分の個数

１次元ベッチ数：
全体の連結が維持できる不通個所の最大値

ホモロジー理論：
曲面を分断しない切断面の個数で穴の数を数える

図形固有の次元と図形を実現できる空間の次元は同じではない。

円周は一次元だが円周を描くには二次元が必要。

ポアンカレ予想を証明してフィールズ賞を辞退したペレルマン。
賞のために証明したわけではないからという。
数学者は変な人が多い。

メビウスの帯の上では左右の区別がつかない

二つのメビウスの帯をその境界で張り合わせると
クライン管ができる。

・今日の一言（本文より）
Let no man ignorant of geometry enter here.
幾何学を知らざる者、この門を入るを許さず。
기하학을 모르는 자, 이 문을 지나지 말 것.
不懂幾何的人，不得進入此门。

タグ：瀬山士郎

数の魔力－数秘術から量子論まで

『数の魔力－数秘術から量子論まで』
ルドルフ・タシュナー（数学、物理学）
岩波書店（2010）

数学史の本。

1 ピタゴラス―数と象徴
2 バッハ―数と音楽
3 ホーフマンスタール―数と時間
4 デカルト―数と空間
5 ライプニッツ―数と論理
6 ラプラス―数と政治
7 ボーア―数と物質
8 パスカル―数と精神

・今日の一言（本文より）
Numbers underlie the whole cosmos and all that is in it, our very selves and all that goes to make us what we are.
ありとあらゆるもの、われわれ自身を含めた全宇宙は数である。
온갖 존재, 우리들 자신을 포함한 전 우주는 숫자다.
数字在全宇宙的一切，我们和作们的一切都是数字。
所有的一切包括我们的全宇宙都是数字。

タグ：ルドルフ・タシュナー

偶然とは何か－北欧神話で読む現代数学理論全６章

『偶然とは何か』
イーヴァル・エクランド（幾何学、力学）
創元社（2006）

北欧神話を導入に語る数学の哲学的な側面。

第1章 偶然
第2章 運命
第3章 予想
第4章 カオス
第5章 リスク
第6章 統計

と分けてあるものの、
そんなに頭に入りやすいとは言い難い感じ。

・今日の一言（本文より）
If the nose of Cleopatra had been shorter, the whole face of the earth would have been changed.
クレオパトラの鼻がもう少し低かったらこの世のようすはすっかり違っていただろう。
要是克丽奥佩特拉的鼻子长得短一些，整个世界的面貌就会改变。
만약 클레오파트라의 코가 조금만 낮았더라면 세계의 역사는 달라졌으리라.

タグ：イーヴァル・エクランド

数覚とは何か？－心が数を創り、操る仕組み

『数覚とは何か？』
スタニスラス・ドゥアンヌ（認知科学、数学）
早川書房（2010）

原題：The Number Sense: How the mind creates mathematics

数の秘密を知る良書。

ラットにとって２と８の中央値は４。

同時失認で数えることができない患者も、
三つまでは把握できる。

５により近い数を主観的に評定するとしたら４と６のどちらか？
等しい距離だけど６の方があまり違わないように感じる。

中国語は９個の数字まで記憶できるが、
英語では平均７個しかできない。

計算天才の計算結果は記憶から取り出すもの。
記憶こそが計算の天才の本質的性質である。

計算の天才はなじみのある数字に
イメージを伴った数の動物園を心的に備えていることが多い。

天才とは人一倍忍耐に向いている人のことだ。

ラットもヒトも数を使って大きさを表象しているのではなく
大きさを使って数を表象している。

数処理の距離の効果はコンピュータで再現困難。

・今日の三言（本文より）
For an animal, 5 plus 5 does not make 10, but only about 10.
動物にとっては５足す５は10ではなくおよそ10である
동물에 있어서 5 더하기 5는 10이 아니고 약 10이다.
对动物来说，5加5不是10，而是大约10。

It takes more time to figure out that 71 is larger than 65 than to reach the same decision for 79 and 65.
71は65より大きいと判断する時間は79は65より大きいと同じ判断に達する時間よりも長い
71이 65보다 크다고 판단하는 시간은 79가 65보다 크다고 판단하는 시간보다 더 길다.
判断71比65大的时间，比判断79比65大的时间长。
判断71比65大，比判断79比65大，更需要时间。

A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
数学者とはコーヒーを定理に変換する機械である。
数学家是将咖啡转换成定理的机器。
수학자는 커피를 정리로 바꾸는 기계다.

タグ：スタニスラス・ドゥアンヌ

ナイチンゲールは統計学者だった！－統計の人物と歴史の物語

『ナイチンゲールは統計学者だった！』
丸山健夫（情報学）
日科技連出版社（2008）

統計学の歴史。

Bat's Wingを考えたナイチンゲール。
鶏頭図じゃなかったっけ？なんでコウモリの翼なんだろ。

フランシス・ゴールトンの平均顔の研究。
この時期に既に平均顔の研究があったのは驚き。

・今日の一言
ナイチンゲールは統計学者だった！
南丁格尔是统计学者！
나이팅게일은 통계학자였다！
Nightingale was a statistician！

タグ：丸山健夫 ナイチンゲール

数学は言葉（math stories）

『数学は言葉』
新井紀子（数理論理学、教育工学）
東京図書（2009）

数学語を第二言語として身につける。

数学は書き言葉専用の言語。
数学語の圧縮技術が人を数学から遠ざける。
日本語の数訳、数学語の和訳の練習が必要だ。

線と点の定義。
面の切断面が線であり線の切断面が点である。
点から線、線から面を定義するのではないのだ。

・今日の一言
面の切断面が線であり線の切断面が点である。
면의 절단면이 선이며 선의 절단면이 점이다.
面的切断面是线，线的切断面是点。
Cross sections of a surface are lines, cross sections of a line are points.

タグ：新井紀子 上野健爾

数学はいつも苦手だった

『数学はいつも苦手だった』
アルブレヒト・ボイテルスパッヒャー（有限幾何学）
日本評論社（2004）

数学エッセイ。

数学とは何か？
・数学は論理的な構造を発見する試みである
・数学はアイデアの集まりである
・数学は世界の記述する一つの道具である
・数学は世界を体験する一つの方法である

数の世界の深さ。
１＋１＝２は、Principia Mathematica の362ページ目で、
世界で初めて証明された。
最も簡単なことを証明するのにこれほどかかるのだ。

年に６万・一日に150の数学定理が生まれる、
自然数が０からか１からかは数学者の趣味の問題、

意外な事実。
０の０乗が１か０は、１が優勢だが数学者でも意見が割れている。

・今日の一言（本文より・数学者のジョーク）
ある数学者は言った。数学者には三種類ある。３つまでの数を数えられる人と数えられない人だ。
어떤 수학자는 말했다. 수학자에게는 셋 종류가 있다. 셋 까지 수를 셀 수 있는 사람과 셀 수 없는 사람이다.
一位数学家说了。数学家有三种。能数到三的人和不能的人。
There are three kinds of Mathematicians: those who can count to 3 and those who can't, said the mathematician.

タグ：アルブレヒト・ボイテルスパッヒャー

読む数学－通読できる数学用語事典

『読む数学－通読できる数学用語事典』
瀬山士郎（位相幾何学、数学教育）
ベレ出版（2006）

通読できなくはないけど、
テーマが具体的でないので……

ウサギは鵜と鷺だから羽で数えるそうだ。
駄洒落だね。

実数が実在し虚数が実在しないというのは迷信。
数はものではなく、行為なのでそもそも実在しないもの。

数学者ディオファントスの墓碑銘。
ディオファントスは、その生涯の1/6を少年、1/12を青年、
1/7を独身者として過ごした。
結婚してから５年で子どもが生まれた。
この子どもは父より４年前に父の年の半分でこの世を去った。
これで年齢がわかるわけ。

実際に問題を分析する応用数学で、
それを完全言語化した数学の本ってないのかな。
テーマが狭くなりすぎて無理なんだろうか。

『数式を読みとくコツ』
杉原厚吉（数理工学）
日本評論社（2008）

記号の意味を考える。

等号の意味は、恒等式、方程式、図形、定義、代入、
などいろいろあるらしい。

そのまま読んで面白い本ではない。

・今日の一言
God gave him his boyhood one-sixth of his life, One twelfth more as youth while whiskers grew rife; And then yet one-seventh ere marriage begun; In five years there came a bouncing new son. Alas, the dear child of master and sage After attaining half the measure of his father's life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, he ended his life.
ディオファントスは、その生涯の1/6を少年、1/12を青年、1/7を独身者として過ごした。結婚してから５年で子どもが生まれた。この子どもは父より４年前に父の年の半分でこの世を去った。
신의 축복으로 태어난 그는 인생의 1/6을 소년으로 보냈다. 그리고 다시 인생의 1/12이 지난뒤에는 얼굴에 수염이 자라기 시작했다. 다시 1/7이 지난 뒤 그는 아름다운 여인을 맞이하여 화촉을 밝혔으며, 결혼한 지 5년만에 귀한 아들을 얻었다. 아! 그러나 그의 가엾은 아들은 아버지의 반밖에 살지 못했다. 아들을 먼저 보내고 깊은 슬픔에 빠진 그는 그 뒤 4년 간 정수론에 몰입하여 스스로를 달래다가 일생을 마쳤다.
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一两颊长胡，再过七分之一，点燃结婚的蜡烛，五年后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，边进入冰冷的墓。悲伤也只有用研究数论去弥补，又过四年他也走完了人生的旅途。

タグ：瀬山士郎

数学でつまずくのはなぜか（講談社現代新書）

『数学でつまずくのはなぜか』
小島寛之（数学エッセイスト）
講談社現代新書（2008）

子どもたちの数学へのつまずきから
数学の本質を考える。

数を理解するコツ。
方向算モデルとしての
気球昇降モデルで負数を理解する。
イコールをてんびんのつりあいに置き換える。

数学と語学の不思議な類似。
学校教育での語学や数学の成績は
創造性、積極性、独立心と負の相関。
我慢強い、堅実、学校への帰属意識、
如才なさと正の相関するらしい。

数のアフォーダンス。
自然や社会の特定の事物には、
数理的に表現できるというアフォーダンスが備わるという。
集合と写像を利用して数を数える一対一対応。
事物には同数であることがわかるというアフォーダンスがある。
数は自然界の性質なのだ。

古代の数学者ピタゴラス。
すべての物質は粒子と考えた。
物質の質量は整数比であるのに、√2は整数比にならない。
√2は異端の数として隠されたという。

数学の証明はロールプレイングゲーム。
数学の公理系はユークリッドクエストなのだ。

関数とはどういう意味か。
英語ではfunction。
これを中国語で音訳してhanshuに。漢字では函数。
日本に持ち込み当用漢字として関数になってしまった。
これでは元の意味がわからず理解しにくいわけだ。

微積分の考え方。
超微量数e。0でないので割ることができる。
これを利用するわけ。

算数だけが障害された女性。
時計が読めず計算できない。
順序や大小が記憶できないようだ。
運動の組み合わせの記憶ができないのだろう。
大脳基底核、小脳、前頭葉などのどこかに
問題があるのかもしれない。

教育論を語る者に偽物が多い。
何かの分野で名声を得た人はえてして教育のことを語りたがるが、
その多くは個人の特別な体験の域を出ず、
かえって有害なことが多いという。
全く同感だ。
教育は教育学者が語るべきである。

『デザインにひそむ〈美しさ〉の法則』
木全賢（プロダクトデザイン）
ソフトバンク新書（2006）

工業デザインの考え方を知る良書。

三分割法とは。
画面を上下左右にそれぞれ３分割し、
主要な要素をその交点のいずれかに置く。
重要な要素が２つか３つがあるとき有効。
１つのときは左右２分割、上下３分割し、
その交点に重要な要素を置くこと。

デザインと性能の関係。
デザインが良くて性能が低いとメーカーのイメージが悪くなる。
良いデザインは性能が良いと思わせるので、
消費者が落胆するからだ。

デザインの４原理とは。
可視性：見てすぐ分かる。
対応付け：方向や位置関係が相関。
概念モデル：ウインドウズのゴミ箱など。
フィードバック：結果と反応がはっきりしている。
４つ揃うのがよいデザインだ。

悪い例。
マックではCDやDVD取り出しにアイコンをゴミ箱にドラッグするらしい。
それはわかりにくいな。

テレビの形の不思議。
初期のテレビ画面は丸かった。
覗かれているみたいという苦情が殺到し四角に変更した。
四角いとこちらから見ているというアフォーダンスがあるという。
丸と四角のアフォーダンスの不思議である。

日本の玄関は外開きなのはなぜか。
玄関が狭いため。
玄関の内側に荷物が置けるというわけ。

・今日の一言（ピタゴラス）
世界は粒子でできているから整数で割り切れないものは存在しない。√２やπは存在しない。
This world is made of particles, so there is nothing which cannot be divided by an integer. There are no such thing as √2 and π.
세계는 입자로 되어 있기 때문에 정수로 나눌 수 없는 것은 없다. √2나 π는 없다.
这个世界是由粒子构成的，所以没有用整数除不尽的东西。没有√2和π。

タグ：小島寛之

中国四千年数学ミステリー（世界数学遺産ミステリー３）

『中国四千年数学ミステリー』
仲田紀夫（数学、社会数学、数学旅行作家）
黎明書房（2007）

イラスト中心の楽しい数学旅行記。

黄河は百年で10m河底があがるという。
これじゃすぐ河筋が変わっちゃうね。

タングラムとは、
正方形を７つの小片に分けたチップを並べて図柄をつくる遊び。
四千年昔の中国創案らしい。
全く初耳。どこから出て来た情報だろう？

『礼記』によると、
６歳で数字と方角を覚え、
９歳で計数と干支を知り、
10歳で読書算と六芸を学ぶらしい。
カリキュラムはけっこうはっきりしている。

科挙の正式名称は科目別選考挙用。

東京都の"知る区ロード"というものがあるらしい。

『竹取物語』には、漢文の原型あり、もともと中国伝来のものらしい。

漢書の文藝志には、
測量技師許商の『許商算術』
数学者杜忠の『杜忠算術』
という本があるらしい。

漢代の数学名著として、
天文観測と暦法の『周髀算経』
『九章算術』
珠算という言葉がある徐岳の『数術記遺』など。
珠算って、ソロバン？
漢代にはソロバンはまだなく算木のはずだが、どういうことだろ？

・今日の一言
黄河は百年で川底が10m上がる。
황하는 100년에 강바닥이 10m 상승한다.
黄河河底每一百年上升10米。
The bottom of Yellow River raises 10 meters in one hundred years.

タグ：仲田紀夫

偶然の確率

『偶然の確率』
アミール・D. アクゼル（数学、統計学）
アーティストハウス（2005）

統計を面白さを語る。分量少ない。
最後の問題に解説がなく欠陥。

インスペクション・パラドックスの例
半数以上の人が平均寿命より長生きする。
イスラエル男性の平均寿命76.7。高過ぎる。
これは移民による誤差。
というのも移民年齢より早く死ぬことがないから。

統計学的に正しい結婚のススメ
一生に出会う花婿花嫁候補の約37％と付き合って、
それより良い会ったらすぐ結婚すると、
最もよい相手にある確率が高い。
この37％とは1/e・e=2.71828...のこと。

ベイズ確率の注意点。
エイズ検査問題の場合それは総人口の代表サンプルであり、
入院中の患者なら確率が違ってくる。
事前確率は主観的だが条件付き確率は客観性が強い。
事前確率を適切に選択するのが難しいのである。

・今日の一言（統計学者）
一生に出会う花婿花嫁候補の約37％と付き合って、それより良い人に会ったらすぐ結婚せよ。
일생에서 만나는 신랑신부감의 약37%와 사귀고, 그 사람들보다 좋은 사람을 만나면 바로 결혼해라.
交际大约37％的一生中遇见的对象，然后遇到了比他们更好的人，就赶快结婚吧。
Date about 37% of prospective marriage brides or grooms that you meet in your lifetime, and then if you meet a person better than them, marry that person right away.

タグ：アミール・D. アクゼル

若き数学者への手紙

『若き数学者への手紙』
イアン・スチュアート（数学者）
日経BP社（2007）

数学にまつわる多様な話。
数学の魅力と現実を語る。

卒業生の学位の中で
最も高い収入に結びついたのは数学だった。
数学は、医学についで
今や収入に結びつく学問らしい。

科学的知識が感動を損なうという人は、
詩的で、世界の驚異に心を開いているふりをしているが、
実際はただ好奇心が欠けているだけという。
同意。非常に同意する。
好奇心がないので、安直な結論に落ち着きたいだけなのだ。

筆者の数学の教科書の読み方
面白いところが見つかるまで一気に進む。
その理解に必要なところまで後戻りする。
本を頭から順番に読む必要があるのは、ミステリー小説だけだと思う。

有限単純群の分類定理は、証明が１万頁に及ぶ。
長い。これって理解できる人はどのぐらいいるんだろう。

数学のみが何かか不可能であることを証明できる。
他のあらゆる学問は、不可能の証明はできず、
ただ確実性を高めたり低めたりするだけである。

エドワード・ブルワー＝リットン
天才はなすべき事をし、才人は為し得る事をする。
才人でなくとも、
我々凡人は為し得ることからしなければならない。
天才でもないのに、為すべき事を探したりするには、人生は短すぎる。

著者の数学の才能。
ほとんど勉強しなくても常に一位だった。
必死に勉強する友人には努力するふりをしていたらしい。
でないと殺されるほど妬まれる危険があったから。
大学での数学の才能は、個人差が激しいのである。
東野圭吾のいう、偽理系と本物の理系の違いである。

数学の天才ラマヌジャン
ヒンドゥーの女神ナマギリが夢に現れて教えてくれる。
天才には、特殊な才能があるのだ。

KISSの法則
簡明にしかもだらなくしておく
Keep it Simple, Stupid
간단하게 만들어, 바보야.
亲吻我的简单愚昧。

デイヴィッド・トール：数学は手順を物に変えて進んできた。
数学の面白さは、時間を空間に変換することだと思う。
ただ、現実世界は時間を捨象できないので、
時間を取り込む数学というのは難しいのかもしれない。

神と数学の関係。
プラトン：神は幾何学者だ
ポール・ディラック：神は数学者だ
アーサー・エディントン：神は純粋数学者だ

宇宙と世界を理解するのにあまりに数学が有効だからだろうか。

・今日の一言(プラトン)
神は幾何学者。
God is a geometrician.
신은 기하학자다.
神是几何学者。

タグ：イアン・スチュアート

ユークリッドの窓－平行線から超空間にいたる幾何学の物語

『ユークリッドの窓』
レナード・ムロディナウ（物理学）
ＮＨＫ出版（2003）

幾何学にまつわる発見物語を面白く語る。良書。

タレスに勧められてエジプトに渡ったピタゴラス。
ヒエログリフを学び祭司に相当する地位を得た。
ピタゴラスにはたくさんの伝説がある。
それがことごとくキリストと類似するらしい。

ニューヨークのアマチュア奇術師ポール・カリー
錯視マジック７×７の正方形ドーナツを発案。
あれって、最近の発明なんだ。

アレクサンドリアで学んだ人々。
月の大きさと距離を測ったアリスタルコスや、
テコの原理を発見したアルキメデスなど。
古代から図書館は役に立つものだ。

ユークリッドの証明の革命とデカルトの位置の革命。
ユークリッドの原論が証明の方法をつくり、
デカルトは位置を数字で定義する方法をつくったのだ。

ラインラント飢饉では絞首台を軍隊が警備。
死体を飢えた市民に食べられるのを防ぐため。
西洋でも東洋でも、飢えれば人を食べます。

アインシュタインの空間の公理
1.他の物体と比較することなく
自分が静止しているか等速運動しているかを知ることはできない。
2.光速はすべての観測者にとって同じ。
これ二つを演繹することで相対性理論が出てくるわけ。

特許局の事務所にノートを持ち込み、
内職で研究したアインシュタイン。
上司が来ると慌てて隠すわけ。学生だなあ。

アインシュタイン
自分が何をしているのかわかっているなら、
それは研究とは言わないのではないかね？
研究とは何かわからないことを解明するものなのだ。

量子力学の理論は、予測＝predictionでなく、後測＝postdiction。
後から現実に合う理論を考えるから。

あらゆる物質はひもから構成されるとするひも理論。
しかし、ひもはブレーンの一種とするＭ理論も登場する。

相対性理論が禁ずるのは粒子が光速ちょうどで動くこと。
タキオンの存在を論理的に否定しているわけではないらしい。

・今日の一言
アインシュタインの相対性理論は、粒子が光速ちょうどで動くことのみを禁止する。
Einstein's Relativity theory only prohibits that particles just move at the speed of light.
아인슈타인의 상대성이론은 입자가 꼭 광속도의 운동하기만을 금지한다.
爱因斯坦的相对论只是不许光速运动的粒子。

タグ：レナード・ムロディナウ

確率とデタラメの世界－偶然の数学はどのように進化したか

『確率とデタラメの世界』
デボラ・Ｊ・ベネット（数学者）
白揚社（2001）

面白い数学書。
確率の歴史と偶然の意味を知る。

ダニエル・カールマンのタクシー問題
タクシーの交通事故があった。
目撃者は青いタクシーと証言した。
その町のタクシーのうち、
85％は緑で、15％が青である。
さらに事故現場での
目撃証言の正確さを確認すると正答率80％であった。
すなわち、青のタクシーでも20％は緑と答え、
緑のタクシーでも20％は青と答えた。

では、交通事故を起こしたタクシーが青である確率はどのぐらいか？
確率の知識のないほとんどの人は、80％と答える。
実は、約41％であり、緑のタクシーである確率が高いのだ。

これが有名なベイズ確率のパラドックスの例。

もう一つ。
a.子ども二人の家庭がある。一人は女の子だ。
子どもが二人とも女の子の確率は？

正答は1/3である。

b,では、子ども二人の家庭で、上の子が女の子とわかっている場合、
子どもが二人とも女の子の確率は？

正答は1/2である。

c.子ども二人の家庭で、一人は女の子だ。
そしてあなたはその母と女の子が一緒にいるのに出会った。
一緒の女の子は娘だという。

子どもが二人とも女の子の確率は？

正答は1/2である。

a.b.c.ともにほとんど同じに思えるのに確率が違うのが面白い。
主観確率と客観確率の違いからくるパラドックスである。

リヒャルト・ウィルヘルム
運命を変える方法を問うことにより『易』は占いから知恵の書になった。
『書経』では、占いは数人指名し、３人なら２人が一致する方を選ぶ。
２番目の意見を探すわけ。
占いの結果を額面通りに受け取らず、熟慮する義務があるのだ。

ペテルブルグ・パラドックス
コインの表が出れば１シリングをもらう。
表が出てお金をもらえるまで続けることができる。
もらえる金額は一回ごとに倍になる、１⇒２⇒４⇒８⇒....とする。
この儲けの期待値はいくらか？

ほとんどの場合、１～８シリングぐらいで終わってしまうが、
計算上の儲けの期待値は無限大である。

実際に2047回のゲームを実験すると平均５シリングの儲けとなる。
ゲームの終わるタイミングを長くすると、
それだけ期待値が大きくなっていくのである。

フォン・ノイマン
四則演算で乱数をつくりだそうとするものは、
神に背こうとしているのだ。
コンピュータで乱数を作るという、
決定論的な式が乱数列を生成するという矛盾。

ランダムとは？
結果がランダム、過程がランダム、影響がランダム。
さまざまに考えられる。
πの十進法展開のランダムさ。しかし生成過程はランダムではない。
コンピュータで乱数を作るのもそうだ。

スペンサー・ブラウンは、
ランダムとは過去から次が予測できないことであり、
観測者の心理、見る人に与える影響のことという。
偶然とはただ初期条件を知らないことなのだろう。

・今日の一言（ガリレオ）
自然の本は数学によって書かれている。
The Book of Nature is written in mathematical characters.
자연의 책은 수학 기호로 씌여 있다.
自然的书是用数学的语言写成的。

タグ：デボラ・Ｊ・ベネット

数 コンピュータ、哲学者、意味の探究－はじめからの数学３

はじめからの数学３
『数 コンピュータ、哲学者、意味の探究』
ジョン・タバク（サイエンスライター）
青土社（2005）

数の本質を知る。数理哲学の話。

メソポタミアの60進法。60進法の利点とは？
60が基数だと1カ2/3は1;40と表記する。
すなわち割り切れるのである。
60は約数が多いので、
分数の多くは割り切れるので便利なのだ。

メソポタミア人の高度な数学。
円周率は何と小数点以下百万桁まで計算していたことが
楔文字の粘土板記録されているという。

古代中国の算棒は正負で色が違う。
赤が正の数、黒が負の数である。

負の数を考えたのは、
インドの数学者天文学者(598?-655?)のブラフマグプタ。
０もマイナスもインド製だ。

序数と基数の違い。
数え上げるには集合の要素に順番が必要だが、
対応関係なら順序が不要になる。

トリストラム・シャンディの生活と意見。
自分の生涯を語るのに自分の生きている時間以上が必要だ。
……不思議な物語である。

はじめからの数学４
『確率と統計 不確実性の科学』
ジョン・タバク（サイエンスライター）
青土社（2006）

まとまり悪いし、数学っぽくない。

ランダムの定義
ある数列を記述するコンピュータプログラムが、
その記述と同じ長さならランダム。
圧縮できるデータはランダムではないわけ。

メソポタミアのウルの4500年前の双六は
二十ますのゲーム。
双六や賭博はみんな大好き。
ローマ皇帝のアウグストゥスも常習賭博者だった。

合衆国対ホームズ事件の判決。
船が沈没し、救命艇には人数オーバーで沈んでしまうと、
乗客を海に投げ捨てた。
船員は裁判で訴えられ、
判決は、投げ捨てる人はくじ引きで決めるべきとなった。
殺す必要は認められても、平等でなければならないわけ。

ハレー彗星で有名なエドモンド・ハレー。
統計学者として保険計理学の論文も書いた。
またニュートンのプリンキピアの序文を書き、
校正もし出版費用を出した。

統計学は数学というより科学。
現実にある数が対象で理論が現実に合わなければならないから。

はじめからの数学５
『数学と自然法則 科学言語の開発』
ジョン・タバク（サイエンスライター）
青土社（2005）

科学史。

シラクサ防衛でのアルキメデスの活躍。
投石機、レンズ光線、
鈎クレーンでローマ海軍を撃退した。

ギリシア科学でも突出したアルキメデス。
根底原因の特定を求めたのである。
著書『方法』は幻の書であった。

これって小説のネタに使えそう。
西洋からアルキメデスの幻の書を入手、
それを解読して驚異の軍師として活躍する話って、
どうだろ？

このシリーズ、"はじめからの数学"というタイトルは誤解を招く上に、
読者を遠ざけてまずいと思う。
"数学の誕生"か"数学の物語"かそのまま"数学の歴史"か。
私なら"数学の物語"にするかな。

はじめからの数学全５巻、１、２、３まではかなり良い出来。
４と５は、数学史とは少し違う感じだ。

はじめからの数学１
『幾何学 空間と形の言語』



はじめからの数学２
『代数学 集合、記号、思考の言語』


・今日の一言
私の人生を語るには自分の生きている以上の時間が必要なんです。
I need more than my own lifetime to tell my life.
내 인생을 이야기하는데 자신이 살 수 있는 이상의 시간이 필요해요.
要说我的人生，需要比我的人生还长的时间啊。

タグ：ジョン・タバク

計算しない数学（青春新書）

『計算しない数学』
根上生也（位相幾何学的グラフ理論）
青春新書（2007）

見てわかる数学から数学の本質と未来を考える。

数学的事実とは
個別文化に依存して成立する事柄ではない。
東洋とか西洋とかで違うことはないわけ。
自然科学が西洋や東洋で違わないのも
数学を用いるためである。

古代中国のピタゴラスの定理は、
勾股定理という。
これは『九章算術』からかな？

見てそれとわかることこそ、基礎数学力であるという。
専門が位相幾何学の著者らしい考えだ。

タッチパネルの平行と垂直方向の枠の２点を同時に触ると
反応するそうだ。
今度、駅で実験してみよう。

牛乳パックの底と高さを測って計算すると、１リットルはない。
なぜか？
牛乳パックの大きさは膨らみが計算に入っているからだそうだ。

『暗算の達人』
アーサー・ベンジャミン（数学者）
マイケル・シェルマー（科学史家）
ソフトバンククリエイティブ（2007）

暗算テクニック一覧。
簡単な方法に分解すること。

計算は上位の桁から、左から右にする。
これは空間思考との関係である。
イメージで考えるとき、
まずそのイメージ空間に対象を広げる。
このとき、イメージ空間の７割程度の容量を使ってイメージする。
大きい桁から考えると、
そこに1/10程度の差を付け加えるて考えることになるが、
小さい桁から考えると、
最初のイメージの10倍前後のイメージを付け加えることになる。
するとイメージ空間の容量を超えてしまうので、
最初からやり直しになるのだ。

数学者ガウスは言葉より先に計算を覚えたという。
３歳で父の給与計算の間違いを指摘したらしい。

インドの計算天才の話。
一部の数学者が疑問視しているらしい。
あまりに凄すぎる計算天才はどうもトリックがあるかもしれない。

クレイグ・エイトケン
記憶の秘訣はリラックスすること、集中することではないという。
リラックスしてα波が出てるのがいいのかな？

計算天才はタスマニア人やマオリ人のように絶滅してしまうという。
さらに注にどちらも絶滅していないとある。
マオリ人は今もいるけど、タスマニア人は絶滅したんじゃないかな？

・今日の一言
弁証法とは相互因果の論理学である。
The dialectic is the logic of mutual cause and effect.
변증법은 상호인과의 논리학이다.
辩证法是相互因果的逻辑学。

タグ：根上生也

幾何学 空間と形の言語

『幾何学 空間と形の言語』
ジョン・タバク（サイエンスライター）
青土社（2005）

幾何学の歴史。
縦書きのわかりやすい数学史。良書。

しかし、はじめからの数学、
というシリーズタイトルは誤解を招きそう。
まるで数学の教科書みたいだけど、
数学そのものの本ではなく、
あくまでも縦書きで組まれた
数学史の本である。

シリーズ全五冊いずれも面白そうだ。
それぞれが分野ごとの数学史にわかれているのが、理解しやすそう。

幾何学的は一群の動かし方をしても変わらない性質を扱う。
その動かし方で幾何学は定義される。
◯◯幾何学は△△という動かし方の幾何学というわけ。

エジプトで発達した幾何学。
ナイル川の氾濫とその洪水の後に、
土地の境界と税額確定のため測量が必要だった。
社会が数学を求めたわけだ。
ナイル河の測量士、数学者は縄を延ばす人と呼ばれた。
12に等分の目盛り入りの縄で、３・４・５の比の直角三角形を作って、
計測したのである。

弟子のプラトンは数学好きなのに、ソクラテスは数学嫌い。
ソクラテスは、１＋１が２になることに納得できなかったという。
それはいくら何でも疑い過ぎだよなあ。

数学史上最大のベストセラーは、エウクレイデスの『原論』
つか、ユークリッドでいいじゃん。

公理は互いに矛盾してはいけない。
公理は論理的に独立でなければならない
正しい定理はすべて公理から導かれなければならない
『原論』の思考法は、数学だけでなく論理思考の基本だ。

ユークリッド幾何学は、回転と平行移動の集合。
長さと角度は変わらない。
ユークリッド幾何学は射影幾何学の特殊分野。
射影幾何学では角度は保つが長さは変化する。
とすると、一番大きなカテゴリーは位相幾何学だろうか？

代数と幾何を結びつける橋、それが座標。
座標があることで、幾何学を数学で表現できる。

デカルトの人生経験を求める１０年の旅に出た。
自分自身をまさに疑う旅に出たんでしょうか。

ネーターの発見
エネルギー保存とは時間に関する対称性。
エネルギーにとっては過去も未来も同じなのだ。

気になるのは、同じもののはずなのに、
いちいち公理と公準と表現するのがは紛らわしい。
訳のミスなのか、原著のくせなのだろうか？

後、横書きのコラムも章末にまとめた方がよかったような。
これほどわかりやすい数学の本も少ないので少し残念なところ。

『代数学 集合、記号、思考の言語』
ジョン・タバク（サイエンスライター）
青土社（2005）

良書。代数学の歴史。
インド、イスラム、中国、日本も登場する。

電卓の平方根の計算は、
メソポタミア人が使った方法と同じ。
何と、数千年前の方法がそのまま通用するのだ。

厳密な答えと近似な答えを区別したギリシア人。
実用を考えると近似で十分である。
ギリシアが哲学の始まりと言われるのも、
実用より真理を求めるからである。

代数を幾何的に考えると、
２つの変数xとyの積は長方形の面積xyとするもの。
しかしデカルトは、第三の線分の長さxyを表すと考えた。

デカルトの掛け算
三角形ABCに相同な三角形DBEを考える。
線分AB＝単位長1とする。
線分ACと平行な線分DEをひく。
線分AC：1＝線分DE：線分BD　であるから、
線分ACをxとし、線分BDをyとすると、
x：1=線分DE：y　となり、
xy=DE　となる。
xyは線分DEの長さとなるわけ。

図がないとわからないよな……

多くの数学者は語学が得意らしい。
理系には語学の達人が意外に多い。

・今日の一言（ソクラテス）
１足す１が２だなんて納得できないぞ。
I cannot accept that 1 plus 1 equals 2.
1 더하기 1은 2다니 납득할 수 없다.
我想不通"一加一等于二"。

タグ：ジョン・タバク

数学する遺伝子

『数学する遺伝子』
キース・デブリン（数学者）
早川書房（2007）

数学の本質を知る良書……
だが、なんだこのひどい言語学の知識は？

アメリカのかけ算には10の段があるらしい。
０を一つ増やすだけでは？　
ああ英語だと言いにくいな。

１２３は一二三の筆記体らしい。
草書みたいにつなげたら
確かに１２３になるな。

アラビア記数法という驚くべき発明。
インドとアラビアの科学の人類への貢献はとても大きい。

計算の天才は数字が意味を持っている。
数字がイメージを喚起する。
πとかも、それにともなう連想がたくさんあるわけ。
数字はそのままだと平べったいというか、無味乾燥だものな。

プロの音楽家が音楽を聴くときと、
数学者が数学の問題に取り組むときの脳画像がよく似ている。
どちらもイメージを使うことが共通である

数学があると見えないものを見えるものにできる。
すなわち、もともと見えないものを扱っているのが数学である。
これは数学が扱っているものが、
映像でもなければ音声でもなく、運動感覚だからである。
対象なきアフォーダンスを扱うのが数学なのだ。
アフォーダンスとは対象から受け取るものだが、
数学ではそれを対象から分離して使えなければならないのだ。

数学思考の比喩が面白い。
新しい数学を学ぶのは心の中に家を建てること。
新しい数学を理解するのは心の家の内部に詳しくなること。
数学の問題に取り組むのは家具を配置すること。
また、数学者はよくうわの空になる。
数学に要求されるのは高い集中力という。
数学者の第一歩とは、関連の数学をすべて意識にのぼらせることという。

将棋の棋士のイメージに似ている。
将棋はやはり数学のゲームだ。
羽生善治は、手を読むとき盤面を浮かべないという。
何かが流れるような運動感覚、
アフォーダンスだけが感じられるのである。
動きの感覚で考えることと、
羽生善治や佐藤康光といったトップ棋士が
対局中、非常に落ち着きがなくいつも動いていることには
関連がありそうだ。

数学は発見の創造性であり発明の創造性ではない。
ハムレットはシェークスピアしか書けないが
数学の証明はいつか誰かが見つけるものだから。

人類はなぜ森林を離れ、直立歩行するようになったか。一つの仮説。
サルの消化器系に一つの酵素ができたためという。
サルが熟していない果実を食べられるようになったため、
類人猿は森から追い出されたのだ。
結構面白い。森に残った類人猿は少数で細々と生きているものな。

数学者はある問題を解いたと思ったあとに論理的証明にとりかかるという。
これは科学者も似たケースが多い。
ふと仮説を思いつき、それを実験で証明するわけだから。

この本はとても面白いのだが、言語の知識のひどさに驚愕した。
・すべての言語に文法の性がある
・すべての言語の統語に単数と複数の区別がある
・あらゆる言語に主語がある

全部、明白に間違い。少なくとも、日本語、中国語、韓国語にはない。
著者は英語とそれと似た印欧語しか知らないらしい。
そんな知識でチョムスキーの生成文法を解説してしまうのだから驚き。
言語学は独学で、内容を言語学者に相談しなかったということかな？

『古代の精密科学』
O.ノイゲバイアー（オーストリアの数学史家）
恒星社厚生閣（1984）

ギリシア、エジプト、バビロニアの
数学と天文学の解説。

『科学を志す人々へ』
石本巳四雄（地学、物理学）
講談社学術文庫（1984）

科学者の心構えを語る。

ガリレオの寒暖計の製作。
これぞ物理学の始まり。
数字で客観的に計測することが
物理学の始まりである。

一個人が病に冒されるのは偶然であるが、
科学ゆえに偶然性を許容できる。
迷信深い、科学を信じない人が、
偶然を認めず、呪術的な因果を信じてしまう。
こうした人たちは、何か原因がないと納得できないのだ。
偶然を正しく理解するにも科学思考が必要だ。

発明の多いフランス人と発展実用化するドイツ人。
日本はドイツ型だが、これは様々な制度をドイツから輸入したせいかも。

ブッフォン
天才は辛抱強いという才能だ。
同じテーマが成功するまでねばり強く研究しているのだ

アインシュタインも20歳以降１年平均10個の論文を発表した。
その中に、あの相対性理論もあった。
たくさん仕事することも大事というわけ。

『近代科学の誕生（上）』
Ｈ.バターフィールド（歴史家）
講談社学術文庫（1978）

科学の誕生の背景を知る。

科学の画期的発展は
同じデータを新しい思考で見なおしたため。
科学者の意識の変化が鍵である。

近代的な慣性の法則は
事物を正確に見るだけで発見できるものではない。
観察できれば解けるというものではなく、
社会状況も重要なのだ。

フランシス・ベイコンは実験の必要を力説したが数学化はせず、
デカルトは数学化したが実験的根拠は薄弱だった。
この二つが揃った科学が登場するのはまだ後のことだった。

『はかり方の日本語』
久島茂（意味論、国語史）
ちくま新書（2007）

数・時・量の言葉の使い分け基準を知る。

例を挙げて、数、時、量の言葉の
使い分け基準を解き明かす。
ただそれだけで、そこからは展開せず、
たくさんの例が大量に出てくる。
もう少し普遍的な話に
進むとかしてくれないのが不満。

『人工知能』
長尾真（情報科学）
新潮文庫（1986）

コンピュータ誕生の話など。

最初のコンピュータ・エアニックは、
弾道計算のために生まれた。
軍事目的だったわけ。
そういえばインターネットも軍事関連だっけ？


『音楽する脳』
ウィリアム・ベンゾン（認知科学、ジャズ）
角川書店（2005）

音楽の秘密を知る。
面白いけど参考文献の記載がないのは問題。

チンパンジーにはテンポやリズムの感覚がない。
ヒトが他の動物と決定的に違う点である。
リズム感覚とは周期性を意図的に作ることである。
これは脳に強力な再帰回路を持つヒトにのみできるのである。

ゲオルグ・フォン・ベケシーの触覚実験
２本の振動する針でそれぞれ別の指先を刺激する。
二つの針のパルスをずらして間隔を狭めると、１ミリ秒で最初の指だけに刺激を知覚する。
さらに短くすると２本の指の間の空間に振動を感じるようになる。
これは両膝への刺激でも同じことが起こる。
股間の空間に刺激を感じるのである。
何もない空間に刺激を感じるのが面白い。

ニルス・ウォリンとヴァレリウス・ガイストの仮説。
原始の人間は動物の鳴き声を真似て声を出したという。
言語の始まりである。

この本の最大の欠陥は参考文献の記載がないこと。
非常にたくさんの資料を引用しているのに問題だと思う。

・今日の一言
アラビア数字の"１２３"は"一二三"の筆記体である。
Arabic numerals "１２３" are cursive characters of "一二三".
아라비아 숫자 "１２３"은 "一二三"의 필기체다.
阿拉伯数字"１２３"是"一二三"的手写体。